十字相乘法分解因式

双十字分解法是一种因式分解方法。对于型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题，若采用“双十字分解法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。

具体应用

例：3x²+5xy-2y²+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)

因为3=1×3，-2=2×(-1)，-4=(-1)×4，

而1×(-1)+3×2=5，2×4+(-1)(-1)=9，1×4+3×(-1)=1

要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，

例：ab+b²+a-b-2

=0×1×a²+ab+b²+a-b-2

=(0×a+b+1)(a+b-2)

=(b+1)(a+b-2）

提示：设x²=y，用拆项法把cx²拆成mx²与ny之和。

例：2x^4+13x^3+20x²+11x+2

=2y²+13xy+15x²+5y+11x+2

=(2y+3x+1)(y+5x+2)

=(2x²+3x+1)(x²+5x+2)

=(x+1)(2x+1)(x²+5x+2)

分解二次三项式时，我们常用十字分解法．对于某些二元二次六项式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f)，我们也可以用十字分解法分解因式。

例如，分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字分解法，分解为

即-22y²+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字分解法对关于x的二次三项式分解

所以原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

(x+2y)(2x-11y)=2x^2-7xy-22y^2；

(x-3)(2x+1)=2x^2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y²+35y-3．

这就是所谓的双十字分解法．也是俗称的“主元法”

用双十字分解法对多项式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

⑴用十字分解法分解ax²+bxy+cy²，得到一个十字相乘图(有两列）；

⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

我们把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x²-3x+2，g(x)=x^5+x²+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)

f(1)=12-3×1+2=0；

f(-2)=(-2)²-3×(-2)+2=12．

若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)至少有一个因式x-a．

根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根。