常用三角函数公式梳理

三角函数是数学中研究角度与三角形边长关系的函数。常用三角函数包括正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)和余割(csc)。它们的基本关系如下：1. 基本定义：sinA = 对边/斜边，cosA = 邻边/斜边，tanA = sinA/cosA。2. 互为余角：sin(90°-A) = cosA，cos(90°-A) = sinA。3. 正切和余切：tanA = sinA/cosA，cotA = 1/tanA。4. 正割和余割：secA = 1/cosA，cscA = 1/cscA。5. 倍角公式：sin2A = 2sinAcosA，cos2A = cos²A - sin²A。6. 和差公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB，cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB。这些公式在解决几何、物理和工程问题中具有重要作用。

三角函数是数学中描述三角形边长和角度之间关系的函数，广泛应用于工程、物理和天文学等领域。本文将对正弦、余弦和正切等常用三角函数的公式进行详细梳理，以助于理解和应用。

积化和差公式

积化和差公式是将三角函数的乘积转换为和或差的表达式，具体如下：

• \( \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] \)
• \( \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)] \)
• \( \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] \)
• \( \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)] \)

和差化积公式

和差化积公式是将三角函数的和或差转换为乘积的表达式，具体如下：

• \( \sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \)
• \( \sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \)
• \( \cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \)
• \( \cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \)

三倍角公式

三倍角公式用于计算三个相同角度的三角函数值，具体如下：

• \( \sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha) \)
• \( \cos(3\alpha) = 4\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha) \)

两角和与差的三角函数关系

两角和与差的三角函数关系描述了两个角度和或差时的三角函数值，具体如下：

• \( \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) \)
• \( \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) \)
• \( \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \)
• \( \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) \)
• \( \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(